Le vrai défi du Calcul intégral : choisir la technique
En Calcul intégral (201-NYB), le cours qui suit le Calcul différentiel en Sciences de la nature, la plupart des étudiants connaissent les techniques une par une. Le problème arrive à l'examen : devant une intégrale sans indice, laquelle utiliser ? Selon le descriptif du Cégep à distance, le cours couvre notamment les techniques d'intégration, les intégrales impropres ainsi que les suites et séries. Ce guide vous donne une démarche de décision, avec des exemples vérifiés en dérivant chaque réponse.
Première règle, avant toute technique : simplifiez. Développez un produit, séparez une fraction en plusieurs termes, utilisez une identité trigonométrique. Beaucoup d'intégrales « difficiles » deviennent des formules de base après une ligne d'algèbre.
Le tableau de décision
| Ce que vous voyez | Technique à essayer | Exemple |
|---|---|---|
| Une fonction et sa dérivée (à une constante près) | Substitution | ∫ 2x cos(x^2) dx |
| Un produit de deux types de fonctions différents | Intégration par parties (LIATE) | ∫ x e^x dx |
| ln x ou arctan x seul | Par parties avec dv = dx | ∫ ln x dx |
| Puissances de sin et cos | Identités trigonométriques, puis substitution | ∫ sin^3 x dx |
| √(a^2 − x^2), √(a^2 + x^2) ou √(x^2 − a^2) | Substitution trigonométrique | ∫ dx / (x^2 √(4 − x^2)) |
| Un quotient de polynômes | Fractions partielles (division d'abord si nécessaire) | ∫ (5x − 1)/(x^2 − 1) dx |
| Une borne infinie ou une discontinuité sur l'intervalle | Intégrale impropre (limite) | ∫ de 1 à ∞ de 1/x^2 dx |
Ce tableau est un point de départ, pas une loi. Si une piste ne simplifie pas l'intégrale après deux ou trois lignes, revenez en arrière et essayez la suivante.
Substitution : le premier réflexe
Cherchez une expression « intérieure » dont la dérivée apparaît aussi dans l'intégrale. Dans ∫ 2x cos(x^2) dx, posez u = x^2, donc du = 2x dx, et l'intégrale devient ∫ cos u du = sin u + C = sin(x^2) + C. Vérification : la dérivée de sin(x^2) est cos(x^2) · 2x.
Il suffit que la dérivée soit présente à une constante près. Pour ∫ x/(x^2 + 1) dx, posez u = x^2 + 1, du = 2x dx, donc x dx = du/2, et le résultat est ½ ln(x^2 + 1) + C. Pensez aussi à changer les bornes quand l'intégrale est définie.
Intégration par parties et l'heuristique LIATE
La formule ∫ u dv = uv − ∫ v du sert surtout pour un produit de deux fonctions de types différents. Pour choisir u, l'heuristique LIATE propose l'ordre : Logarithmique, Inverse trigonométrique, Algébrique (polynômes), Trigonométrique, Exponentielle. La fonction qui arrive en premier devient u, le reste devient dv.
- ∫ x e^x dx : u = x, dv = e^x dx, donc ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = (x − 1)e^x + C.
- ∫ ln x dx : u = ln x, dv = dx, donc x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C.
- ∫ x ln x dx : u = ln x (L avant A), dv = x dx, et on obtient (x^2/2) ln x − x^2/4 + C.
- ∫ e^x sin x dx : après deux intégrations par parties, l'intégrale de départ réapparaît. Isolez-la algébriquement : e^x (sin x − cos x)/2 + C.
LIATE reste une heuristique. Pour ∫ x^3 e^(x^2) dx, il faut prendre dv = x e^(x^2) dx (intégrable par substitution) et u = x^2, ce qui donne (x^2 − 1)e^(x^2)/2 + C.
Intégrales trigonométriques et substitution trigonométrique
Avec des puissances de sinus et de cosinus, les identités font le travail. Si une puissance est impaire, mettez un facteur de côté : ∫ sin^3 x dx = ∫ (1 − cos^2 x) sin x dx, puis u = cos x donne −cos x + cos^3 x / 3 + C. Si toutes les puissances sont paires, utilisez l'angle moitié : sin^2 x = (1 − cos 2x)/2, d'où ∫ sin^2 x dx = (x − sin x cos x)/2 + C.
La substitution trigonométrique vise les racines de forme quadratique :
- √(a^2 − x^2) : x = a sin θ
- √(a^2 + x^2) : x = a tan θ
- √(x^2 − a^2) : x = a sec θ
Exemple : pour ∫ dx / (x^2 √(4 − x^2)), posez x = 2 sin θ. L'intégrale devient ¼ ∫ csc^2 θ dθ = −¼ cot θ + C. Avec un triangle rectangle, cot θ = √(4 − x^2)/x, d'où −√(4 − x^2)/(4x) + C. Attention : ∫ x/√(4 − x^2) dx se fait par simple substitution u = 4 − x^2. Vérifiez toujours la piste la plus simple d'abord.
Fractions partielles et intégrales impropres
Fractions partielles
Pour un quotient de polynômes, vérifiez d'abord les degrés : si le numérateur est de degré supérieur ou égal, faites une division. Ensuite, factorisez le dénominateur. Exemple : (5x − 1)/((x − 1)(x + 1)) = A/(x − 1) + B/(x + 1), donc 5x − 1 = A(x + 1) + B(x − 1). Avec x = 1, on trouve A = 2 ; avec x = −1, B = 3. Résultat : 2 ln|x − 1| + 3 ln|x + 1| + C. Les facteurs répétés et les facteurs quadratiques irréductibles demandent des termes supplémentaires.
Intégrales impropres
Une borne infinie ou une asymptote verticale sur l'intervalle exige une limite. ∫ de 1 à ∞ de 1/x^2 dx = lim (1 − 1/b) = 1 (converge), alors que ∫ de 1 à ∞ de 1/x dx diverge. Plus généralement, ∫ de 1 à ∞ de 1/x^p dx converge seulement si p > 1, et ∫ de 0 à 1 de 1/x^p dx seulement si p < 1 (par exemple, ∫ de 0 à 1 de 1/√x dx = 2). Piège classique : ∫ de −1 à 1 de 1/x^2 dx ne vaut pas −2, elle diverge, car 1/x^2 n'est pas définie en 0.
Séries : quel test de convergence utiliser ?
- Test du terme général. Si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge : Σ n/(n + 1) diverge, car n/(n + 1) tend vers 1. L'inverse est faux : la série harmonique Σ 1/n diverge même si 1/n tend vers 0.
- Séries connues. Une série géométrique Σ ar^n converge si |r| < 1 ; une série de Riemann (série de type p) Σ 1/n^p converge si p > 1.
- Comparaison. Σ 1/(n^2 + 1) converge, car 1/(n^2 + 1) < 1/n^2. Le test de comparaison par la limite aide quand l'inégalité est difficile à établir.
- Test du rapport (d'Alembert). Idéal avec des factorielles ou des exponentielles : pour Σ 2^n/n!, le rapport vaut 2/(n + 1), qui tend vers 0, donc la série converge. Si la limite vaut 1, le test ne conclut rien.
- Séries alternées. Σ (−1)^(n+1)/n converge, car 1/n décroît vers 0, mais seulement conditionnellement, puisque Σ 1/n diverge.
- Test de l'intégrale. Pour une fonction positive et décroissante dont la primitive est connue, comme Σ 1/(n ln n), qui diverge.
Comment s'entraîner pour l'examen
- Mélangez les exercices. Les chapitres du manuel donnent la technique d'avance ; l'examen, non. Faites des séries d'intégrales mélangées et nommez la technique avant de calculer.
- Dérivez votre réponse. C'est la meilleure façon de vérifier une primitive, et elle prend souvent moins d'une minute.
- Révisez l'algèbre et la trigonométrie. Factorisation, complétion du carré et identités reviennent partout.
- Tenez un carnet d'erreurs. Notez chaque mauvaise piste et le signal qui aurait dû vous orienter.
Si une technique bloque, notre page Calcul intégral présente l'accompagnement de Stellaire Académie, et vous pouvez réserver une séance. Pour revoir les bases du cours précédent, lisez aussi les erreurs fréquentes en Calcul différentiel, et planifiez la fin de session avec le calculateur de note à l'examen final.
Questions fréquentes
Comment savoir quelle technique d'intégration utiliser ?+
Simplifiez d'abord, puis cherchez une fonction accompagnée de sa dérivée (substitution). Un produit de types différents suggère l'intégration par parties, une racine de forme quadratique la substitution trigonométrique et un quotient de polynômes les fractions partielles.
La règle LIATE fonctionne-t-elle toujours ?+
Non, c'est une heuristique qui fonctionne dans la majorité des cas. Si votre choix de u rend l'intégrale plus compliquée, inversez les rôles ou combinez une substitution et l'intégration par parties.
Si les termes d'une série tendent vers 0, la série converge-t-elle ?+
Pas nécessairement. La série harmonique Σ 1/n diverge même si 1/n tend vers 0. Le test du terme général sert seulement à prouver une divergence.
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