حسابان 2 در سژپ: چطور روش انتگرال‌گیری درست را انتخاب کنیم

چالش واقعی حسابان 2: انتخاب روش

در حسابان 2 (حساب انتگرال، 201-NYB)، درسی که در رشتهٔ علوم پس از حسابان 1 می‌آید، بیشتر دانشجویان می‌توانند هر روش را به‌تنهایی به کار ببرند. مشکل در امتحان شروع می‌شود: با یک انتگرال و بدون هیچ راهنمایی، از کدام روش استفاده می‌کنید؟ بر اساس شرح درس Cégep à distance، این درس از جمله روش‌های انتگرال‌گیری، انتگرال‌های ناسره و دنباله‌ها و سری‌ها را پوشش می‌دهد. این راهنما روشی برای تصمیم‌گیری به شما می‌دهد، همراه با مثال‌های حل‌شده‌ای که هر پاسخشان با مشتق‌گیری بررسی شده است.

قاعدهٔ صفر، پیش از هر روشی: ساده کنید. یک حاصل‌ضرب را باز کنید، یک کسر را به جمله‌های جدا تقسیم کنید، یک اتحاد مثلثاتی به کار ببرید. بسیاری از انتگرال‌های «سخت» پس از یک خط جبر به فرمول‌های پایه تبدیل می‌شوند.

جدول تصمیم‌گیری

این جدول را نقطهٔ شروع بدانید، نه قانون. اگر روشی پس از دو یا سه خط انتگرال را ساده‌تر نکرده، برگردید و روش بعدی را امتحان کنید.

تغییر متغیر: اولین واکنش شما

دنبال یک عبارت «داخلی» بگردید که مشتقش هم در انتگرال دیده می‌شود. در ∫ 2x cos(x^2) dx، قرار دهید u = x^2، پس du = 2x dx، و انتگرال می‌شود ∫ cos u du = sin u + C = sin(x^2) + C. بررسی: مشتق sin(x^2) برابر است با cos(x^2) · 2x.

کافی است مشتق با تقریب یک ضریب ثابت حاضر باشد. برای ∫ x/(x^2 + 1) dx، قرار دهید u = x^2 + 1، du = 2x dx، پس x dx = du/2، که نتیجه می‌دهد ½ ln(x^2 + 1) + C. در انتگرال معین، یادتان باشد کران‌ها را هم تغییر دهید.

انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء و قاعدهٔ سرانگشتی LIATE

فرمول ∫ u dv = uv − ∫ v du عمدتاً برای حاصل‌ضرب دو نوع تابع متفاوت است. برای انتخاب u، قاعدهٔ سرانگشتی LIATE این ترتیب را پیشنهاد می‌کند: لگاریتمی، معکوس مثلثاتی، جبری (چندجمله‌ای‌ها)، مثلثاتی، نمایی. هر کدام زودتر بیاید u می‌شود و بقیه dv است.

• ∫ x e^x dx: u = x، dv = e^x dx، پس ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = (x − 1)e^x + C.
• ∫ ln x dx: u = ln x، dv = dx، پس x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C.
• ∫ x ln x dx: u = ln x (L بر A مقدم است)، dv = x dx، که نتیجه می‌دهد (x^2/2) ln x − x^2/4 + C.
• ∫ e^x sin x dx: پس از دو بار انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء، انتگرال اولیه دوباره ظاهر می‌شود. آن را به‌صورت جبری حل کنید: e^x (sin x − cos x)/2 + C.

LIATE یک قاعدهٔ سرانگشتی است، نه یک قانون. برای ∫ x^3 e^(x^2) dx، قرار دهید dv = x e^(x^2) dx (که با تغییر متغیر انتگرال‌پذیر است) و u = x^2، که نتیجه می‌دهد (x^2 − 1)e^(x^2)/2 + C.

انتگرال‌های مثلثاتی و تغییر متغیر مثلثاتی

با توان‌های سینوس و کسینوس، اتحادها بار اصلی را به دوش می‌کشند. اگر یکی از توان‌ها فرد است، یک عامل را کنار بگذارید: ∫ sin^3 x dx = ∫ (1 − cos^2 x) sin x dx، سپس u = cos x نتیجه می‌دهد −cos x + cos^3 x / 3 + C. اگر همهٔ توان‌ها زوج‌اند، از اتحاد نصف زاویه sin^2 x = (1 − cos 2x)/2 استفاده کنید، پس ∫ sin^2 x dx = (x − sin x cos x)/2 + C.

تغییر متغیر مثلثاتی برای ریشهٔ دوم عبارت‌های درجه دوم است:

• √(a^2 − x^2): x = a sin θ
• √(a^2 + x^2): x = a tan θ
• √(x^2 − a^2): x = a sec θ

مثال: برای ∫ dx / (x^2 √(4 − x^2))، قرار دهید x = 2 sin θ. انتگرال می‌شود ¼ ∫ csc^2 θ dθ = −¼ cot θ + C. یک مثلث قائم‌الزاویه نشان می‌دهد cot θ = √(4 − x^2)/x، پس پاسخ −√(4 − x^2)/(4x) + C است. اما مراقب باشید: ∫ x/√(4 − x^2) dx فقط به تغییر متغیر سادهٔ u = 4 − x^2 نیاز دارد. همیشه اول ساده‌ترین راه را بررسی کنید.

کسرهای جزئی و انتگرال‌های ناسره

کسرهای جزئی

برای نسبت دو چندجمله‌ای، اول درجه‌ها را مقایسه کنید: اگر درجهٔ صورت بزرگ‌تر یا مساوی درجهٔ مخرج است، تقسیم چندجمله‌ای انجام دهید. سپس مخرج را تجزیه کنید. مثال: (5x − 1)/((x − 1)(x + 1)) = A/(x − 1) + B/(x + 1)، پس 5x − 1 = A(x + 1) + B(x − 1). با قرار دادن x = 1 به A = 2 می‌رسیم؛ با x = −1 به B = 3. نتیجه: 2 ln|x − 1| + 3 ln|x + 1| + C. عامل‌های تکراری و عامل‌های درجه دوم تجزیه‌ناپذیر به جمله‌های اضافه نیاز دارند.

انتگرال‌های ناسره

کران بی‌نهایت یا مجانب قائم در بازه یعنی به یک حد نیاز دارید. انتگرال 1/x^2 از 1 تا ∞ برابر است با lim (1 − 1/b) = 1 (همگرا)، در حالی که انتگرال 1/x از 1 تا ∞ واگراست. به‌طور کلی، انتگرال 1/x^p از 1 تا ∞ فقط وقتی p > 1 همگراست و انتگرال 1/x^p از 0 تا 1 فقط وقتی p < 1 (برای نمونه، انتگرال 1/√x از 0 تا 1 برابر 2 است). تلهٔ کلاسیک: انتگرال 1/x^2 از −1 تا 1 برابر −2 نیست. این انتگرال واگراست، چون 1/x^2 در 0 تعریف نشده است.

سری‌ها: از کدام آزمون همگرایی استفاده کنیم؟

1. آزمون واگرایی. اگر جمله‌ها به 0 میل نکنند، سری واگراست: Σ n/(n + 1) واگراست چون n/(n + 1) به 1 میل می‌کند. عکس آن درست نیست: سری همساز Σ 1/n واگراست، با اینکه 1/n به 0 میل می‌کند.
2. سری‌های شناخته‌شده. سری هندسی Σ ar^n وقتی |r| < 1 همگراست؛ سری p یعنی Σ 1/n^p وقتی p > 1 همگراست.
3. مقایسه. Σ 1/(n^2 + 1) همگراست چون 1/(n^2 + 1) < 1/n^2. وقتی اثبات نابرابری دشوار است، آزمون مقایسهٔ حدی کمک می‌کند.
4. آزمون نسبت. برای فاکتوریل‌ها یا توابع نمایی ایده‌آل است: برای Σ 2^n/n!، نسبت برابر 2/(n + 1) است که به 0 میل می‌کند، پس سری همگراست. اگر حد برابر 1 باشد، آزمون چیزی به شما نمی‌گوید.
5. سری‌های متناوب. Σ (−1)^(n+1)/n همگراست چون 1/n به‌طور نزولی به 0 میل می‌کند، اما فقط به‌طور مشروط، چون Σ 1/n واگراست.
6. آزمون انتگرال. برای تابعی مثبت و نزولی که بتوانید از آن انتگرال بگیرید، مانند Σ 1/(n ln n) که واگراست.

چطور برای امتحان تمرین کنیم

• مسئله‌ها را با هم قاطی کنید. فصل‌های کتاب درسی روش را از پیش به شما می‌گویند؛ امتحان نمی‌گوید. مجموعه‌های ترکیبی حل کنید و پیش از هر محاسبه‌ای نام روش را بگویید.
• از پاسخ خود مشتق بگیرید. این مطمئن‌ترین راه برای بررسی یک تابع اولیه است و اغلب کمتر از یک دقیقه طول می‌کشد.
• جبر و مثلثات را تازه کنید. تجزیه، مربع کامل کردن و اتحادها همه‌جا به کار می‌آیند.
• یک دفترچهٔ اشتباه‌ها داشته باشید. هر مسیر اشتباه و نشانه‌ای را که باید شما را به سمت دیگری می‌برد یادداشت کنید.

اگر روشی مدام شما را به زمین می‌زند، صفحهٔ تدریس خصوصی حسابان 2 ما توضیح می‌دهد Stellaire Académie چطور می‌تواند کمک کند و می‌توانید یک جلسه رزرو کنید. برای تقویت درس قبلی، اشتباه‌های رایج حسابان 1 را ببینید و پایان ترم را با ماشین‌حساب نمرهٔ امتحان پایانی ما برنامه‌ریزی کنید.

پرسش‌های متداول